Movimiento Bidimensional: Movimiento Bidimensionales.

Introduccion:

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.
La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

Objetivo:

1-Estudiar los conceptos básicos del movimiento parabólico

2-Describir las características del movimiento parabólico

Concepto:

Movimiento parabólico es de caída libre en un marco de referencia móvil. Sin tener en cuenta la resistencia del aire, la componente horizontal de la velocidad de un proyectil permanece constante, mientras su componente vertical independientemente esta sujeta a una aceleración constante hacia abajo.

Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:

Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.
Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.
Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal.

Cuando pateas un balón, el balón hace un movimiento en dos dimensiones llamado tiro parabólico. Se le llama en dos dimensiones, porque la posición de la partícula en cada instante, se puede representar por dos coordenadas, respecto a unos ejes de referenc ia .El movimiento en 2 dimensiones es cuando la partícula se mueve tanto horizontal como verticalmente (por así decirlo).El movimiento de una partícula en dos dimensiones es la trayectoria de la partícula en un plano (vertical, horizontal, o en cualquier otra dirección del plano).Las variables a las que está sometida la partícula son dos y por eso se le denomina movimiento en dos dimensiones.Movimiento de ProyectilesUn proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad. Hay una variedad de ejemplos de proyectiles: un objeto que se lanza desde un precipicio es un proyectil; un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba es también un proyectil; y un objeto es qué lanzado hacia arriba en ángulo también está un proyectil. Todos estos ejemplos se dan con la condición de que la resistencia del aire se considera insignificante.Un proyectil es cualquier o bjeto que se proyectara una vez que continúa en el movimiento por su propia inercia y es influenciado solamente por la fuerza hacia abajo de la gravedad.

Caracteristicas del Movimiento Bidimensional:

Conociendo la velocidad de salida, el angulo de salida y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocera toda la trayectoria.

Los angulos de salida y llegada son iguales.

La mayor distancia cubierta se logra con angulos de salida de 45º.

Para lograr la mayor distancia el factor mas importante es la velocidad.

Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

v_o ≠ 0

El tiro parabílico, oblicuo o movimiento de proyectiles es un tiro en 2 dimenciones, la trayectoria que descride es una parábola. Es un caso partic ular del MRUV donde la aceleración es la de la gravedad. La velocidad inicial con la que un objeto que describe este moviento es arroajado puede descomponerse en los ejes x e y para un mejor análisis del movimiento (de hecho es lo que se hace).

Se descompone de la siguiente manera:

Vx= V cos a (donde V es la velocidad inicial y a es el angulo que la velocidad forma con la horizontal)
Vy = V sen a (donde V es la velocidad inicial y a es el angulo que la velocidad forma con la horizontal)

El objeto va a ir variando el módulo de su velocidad en el eje y, pero lo va a mantener en el eje x, por lo que en el eje Y va arealizar un MRUV y en el eje x un MRU con v elocidad constante.

Algunas de las ecuaciones que puedes utilizar para calcular las cosas que te piden son:
Para cosas en el eje x (relacionada con la distancia horizontal que recorre el objeto):

X(t)= Xi + Vx (t-ti)___ donde la velocidad es constante en x (Vx).

Para el eje Y (relacionado con la altura del objeto):

Y(t)= Yi + Viy. t -1/2 g t^2
Vfy= Viy -gt

Donde Yi es la altura inicial de la que parte el objeto, Viy la velocidad inicial e n y, g la gravedad (9,81 m/s^2) y t el tiempo.
Ten en cuanta que en el valor de máxima altura la Vf es 0, y cuando el objeto toca al piso (si no hay desniveles Y(t)= 0, aunque esto depende del sistema de referencia que elijas es lo más común).
Por último si el tiro es horizontal, el objeto empieza su trayectoria parabólica en el punto de máxima altura por lo que su velocidad inicial en Y es 0.

Los tipos de proyectiles que hay son los siguientes:

Concepto:

Por definición, un proyectil tiene solamente una fuerza que actúa sobre él, esta es la fuerza de gravedad. Si hubiera alguna otra fuerza que actuara sobre un objeto, ese objeto no sería un proyectil.Así, en el diagrama de cuerpo libre para un proyectil, se mostraría una sola fuerza que actúa hacia abajo y la " fuerza de gravedad " (o simplemente de Fgrav). Esto quiere decir que sin importar si un proyectil se está moviendo hacia abajo, hacia arriba, hac ia arriba y hacia la derecha, o hacia abajo y hacia la izquierda, el diagrama del libre-cuerpo del proyectil todavía está según lo representado en el diagrama de abajo. Por definición, un proyectil es cualquier objeto sobre el cual la única fuerza sea gravedad.

Suponiendo que se tienen dos muchachos jugando béisbol, como se muestra en la imagen.

La Trayectoria

La trayectoria que sigue la pelota (o proyectil) es parabólica, además sale con una velocidad vo . El vector inicial v cambia con el tiempo tanto de magnitud como en dirección. El cambio en el vector es el resultado de la aceleración y negativa. La componente x de la velocidad permanece constante en el tiempo debido a que no hay aceleración a lo largo de la dirección horizontal. Además, la componente y de la velocidad es cero en el punto más alto de la trayectoria.Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da una velocidad

inicial y a continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional que actúa sobre él y por la resistencia de la atmósfera. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria.El movimiento parabólico esta descrito en términos de su posición, su velocidad, y su aceleración. Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.Ejemplos:El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano.

Alcance.

Concepto: Alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles dispara dos con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).

Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

Tipos de movimiento parabolicos

Movimiento de media parábola

El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal)
se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre.

El movimiento parabólico completo

se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.

La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otr

o parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

Ecuaciones de movimiento Parabolico

TIRO PARABOLICO (g = - 9.8 m/s ²)
eje x: x = v₀.cos α.t eje y: y = v₀.sen α.t + g.t ²/2	vector de posición: r = (v₀.cos α.t).i + (v₀.sen α.t + g.t ²/2).j
ecuación de la trayectori a :
componentes de la velocidad: v_x = v₀.cos α v_y = v₀.sen α + g.t		ángulo formado con el e je horizontal: α = arctg (v_y/v_x)
altura máxima alcanzada: y_máxima = -v₀ ².sen ² α/2.g		alcance: x = -v₀ ².sen 2.α/g

En el caso de la cinemática sólo hay que saber las definiciones

de velocidad y aceleración.
Y ya empezamos a estudiar un caso concreto, cuando el movimiento es rectilíneo y la aceleración es constante, integrando llegamos a las ecuaciones del m.r.u.a ( movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)

V = Vo + a*t
s = so + Vo*t + (1/2)*a*t^2

Ecuaciones sólo válidas cuando a = cte, o sea, en caso que la aceleración no sea constante no son válidas y hay que integrar de nuevo. Como caso particular de este caso particular, a=0=cte, y sacaremos las ecuaciones del m.r.u ( movimiento rectilíneo uniforme), como caso particular del m.r.u.a

V=Vo
s=so + Vo*t

¿ En qué consiste y por qué se llama tiro parabólico ?. Pues simplemente es el movimiento que describiría un cuerpo que se mueve sobre la superficie de la Tierra ( o cualquier planeta), y que está sometido a una única fuerza vertical hacia abajo debido a su propio peso ). En tal caso, si tomamos un eje X horizontal y un eje Y vertical, comprobamos que en eje X tenemos un m.r.u ( no hay fuerza, a=0), y en el eje Y un m.r.u.a ( si consideramos el peso constante, claro, hay una a=g=cte hacia abajo). Así pues las ecuaciones del tiro serán

Eje X (m.r.u)

Vx=Vox=cte
x=xo+Vx*t=xo+Vox*t

Eje Y (m.r.u.a)

Vy=Voy+a*t
y=yo+V oy*t+(1/2)*a*t^2

xo...... distancia horizontal del origen al punto de lanzamiento
yo...... distancia vertical del origen al punto de lanzamiento
Vox... Velocidad inicial en el eje X
Voy... Velocidad inicial en el eje Y
a la aceleración

Tenemos dos ecuaciones x(t), y(t) que nos proporcionan la posición del cuerpo en función del tiempo. Eliminando ese parámetro, sacaremos una ecuación y=y(x),

que nos da la trayectoria del cuerpo

x=xo+Vox*t ____ t=(x-xo)/Vox
y=yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2 __y=yo+Voy*(x-xo)/Vox+(1/2)*a*(x-xo)^2/Vox^2

que desarrollada un poco nos quedará algo como

y=A*x^2+B*x+C

o sea una parábola, y por eso se llama tiro parabólico (nombre poco original, por cierto)

Bien veamos que dicen los libros, diferenciand o ya, erroneamente entre tiro parabólico y tiro horizontal, que es tan tiro parabólico como el otro.

Deducion de Formulas:

1-Ejemplo.

Se lanza un objeto desde el suelo con una velovidad inicial Vo y formando un ángulo A con la horizontal
En este caso conviene coger el origen en el punto de lanzamiento ( para que xo=yo=0), y proyectando Vo sobre los ejes, obtenemos

xo=yo=0
Vox=Vo*cosA

Voy=Vo*senA
a= -g ( va en contra del eje)

A sí pues:

Vx=Vo*cosA
x=Vo*cosA*t
Vy=Vo*senA-g*t
y=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2

¿Qúe nos suele interesar?. La altura a la que llega y el alcance máximo
Para calcular la altura, sabemos que arriba Vy=0, luego

0=Vo*senA-g*t-->t=Vo*senA/g

y en ese instante la altura será

y=Vo*senA*Vo*sen A/g-(1/2)*g*(Vo*senA/g)^2

ymax=Vo^2*sen^2A/2g

Para el alcance máximo sabemos que la altura es y=0

0=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2
t*(Vo*senA-(1/2)*g*t)=0

t=0 situación inicial que no nos interesa
Vo*senA-(1/2)*g*t=0 --->t=2*Vo*senA/g (el doble del anterior)

con lo que en ese momento el alcance será:

xmax=2*Vo*cosA*Vo*senA/g

y como sen(2A)=2*senA*cosA

xmax=Vo ^2*sen(2A)/g

2-Ejemplo.

Lanzamos un cuerpo desde una altura h con una velocidad horizontal Vo
Es el mismo caso que antes

Vx=Vox=cte
x=xo+Vx*t=xo+Vox*t
Vy=Voy+a*t
y= yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2

y volviendo a coger el origen en el suelo y ejes de la misma forma

xo=0

yo=h
Vox=Vo
Voy=0 (toda la velocidad inicial está en el eje X)

a=-g
Vx=Vo
x=Vot
Vy=-gt
y=h-(1/2)*g*t^2

Para hallarla, sólo has de sacar el tiempo en que y=0 y sustituirlo en la ecuación de x
Por ejemplo, supon que tenemos un tiro parecido, pero existe un viento horizontal en contra que provoca al cuerpo una aceleración hacia atrás de valor a

Ahora, tanto en el eje X como en el Y, tenemos

un m.r.u.a

Vy= Vox+ax*t
x=xo+Vox*t+(1/2)*ax*t^2
Vy=Voy+ay*t
y=yo+Voy*t+(1/2)*ay*t^2

xo=yo=0
Vox=Vo*cosA
Voy=Vo*senA

ax=-a
ay=-g

Vox=Vo*cosA-a*t
xo=Vo*cosA*t-(1/2)*a*t^2
Voy=Vo*senA-g*t
y=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2

Como ves, el concepto es siempre el mismo, y ahora las fórmulas de altura máxima y alcance máximo no nos valen,(además ahora no es un tiro para bólico), si bien el procedimiento para sacarlas es igual

Altura máxima Vy=0
Alcance máximo y=0

3-Ejemplo:

Se traza la altura (linea azul) obteniendo un triangulo notable de 53º y 37º. obteniedo la distacia del objeto lanzado 140m. *Hallando Vx Vx=140/4 => Vx=40 m/s*Hallando Vy Por teoria de alturamxima , 1s = 10m por lo tanto Vy=4s => Vy=40m/s *Hallando en angulo por el metodo del paralelogramo
=45 Respuesta = 45

4-Ejemplo.

Determinar la rapides V0 para que el proyectil llegue al punto B, siendo el radio de la superficie cilindrica 75m. (g=10m/s)

resolucion del problema de movimiento parabolico nº2

Trazamos un altura (linea de azul) en el lugar donde choca el objeto obteniendo un triangulo notable de 53º y 37ºObteniendo asi la altura del objeto que choca

ala barrera H=15*d=Vx. t45=3vt => 15=vt__________(1) usando la formula de movimiento parabolicoH=Vy.t-1/2. g.tª (a=2)15=4V.t - 5(t)ª15=60-5tªt=3 remplazando en (1)15=vt5=v*Hallando VoV0=5VVo=5(5)Vo

=25 Respuesta Vo = 25

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/cinem…
http://64.233.169.104/search?q=cache:eHe…

Las ecuacion es de la trayectoria son

x=v0·cosθ·t

y=v0·senθ·t-gt2/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)

Graficos:

Tarea:

1-Ejercicio.

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.
b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?.
c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.
Respuesta: a) 39,36 m
b) 1732,05 m
c) 3464,1 m

2-Ejercicio.

Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:
a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.
b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posi

ción se podría haber disparado?.
Respuesta: a) 49,46 m/s
b) 17 m

3-Ejercicio

Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicia

l de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:
a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?.
b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.

c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?.
Respuesta: a) 1,41 s
b) No
c) 17,18 m

4-Ejercicio

Sobre un plano inclinado que tiene un ángulo α = 30°, se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 50 m/s y formando un ángulo β = 60° con la horizontal. Calcular en que punto del plano inclinado pegará.

Respuesta: 165,99 m

5-Ejercicio

Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:
a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?.
b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.

c) ¿Qué alcance tendrá?.
d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?.
Respuesta: a) 9,75 m

b) 10,2 m

c) 40,82 m
d) 1,41 s

6-Ejercicio.

Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?
Respuesta: 26° 16´ 16"
Responder el siguiente cuestionario:
Pregunta n° 1) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "x"?.
Pregunta n° 2) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "y"?.
Pregunta n° 3) ¿En qué posición es nula la velocidad en el eje "y"?.