La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
-
Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
-
Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
2-Describir las características del movimiento parabólico
- Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.
- Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.
- Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal.
- Conociendo la velocidad de salida, el angulo de salida y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocera toda la trayectoria.
- Los angulos de salida y llegada son iguales.
- La mayor distancia cubierta se logra con angulos de salida de 45º.
- Para lograr la mayor distancia el factor mas importante es la velocidad.
- Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.
En eje x:
v = constante
a = 0
En eje y:
a = g
vo ≠ 0
- El tiro parabílico, oblicuo o movimiento de proyectiles es un tiro en 2 dimenciones, la trayectoria que descride es una parábola. Es un caso partic ular del MRUV donde la aceleración es la de la gravedad. La velocidad inicial con la que un objeto que describe este moviento es arroajado puede descomponerse en los ejes x e y para un mejor análisis del movimiento (de hecho es lo que se hace).
- Se descompone de la siguiente manera:
Vy = V sen a (donde V es la velocidad inicial y a es el angulo que la velocidad forma con la horizontal)
El objeto va a ir variando el módulo de su velocidad en el eje y, pero lo va a mantener en el eje x, por lo que en el eje Y va arealizar un MRUV y en el eje x un MRU con v elocidad constante.
Para cosas en el eje x (relacionada con la distancia horizontal que recorre el objeto):
Para el eje Y (relacionado con la altura del objeto):
Vfy= Viy -gt
Ten en cuanta que en el valor de máxima altura la Vf es 0, y cuando el objeto toca al piso (si no hay desniveles Y(t)= 0, aunque esto depende del sistema de referencia que elijas es lo más común).
Por último si el tiro es horizontal, el objeto empieza su trayectoria parabólica en el punto de máxima altura por lo que su velocidad inicial en Y es 0.
Los tipos de proyectiles que hay son los siguientes:
La Trayectoria
Alcance.
Concepto: Alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.
Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles dispara dos con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).
Tipos de movimiento parabolicos
Movimiento de media parábola
El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal)
se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre.
El movimiento parabólico completo
se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:
Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otr
o parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
TIRO PARABOLICO (g = - 9.8 m/s ²) | |||||
| eje x: x = v0.cos α.t eje y: y = v0.sen α.t + g.t ²/2 | vector de posición: r = (v0.cos α.t).i + (v0.sen α.t + g.t ²/2).j | ||||
| ecuación de la trayectori a : | |||||
| componentes de la velocidad: vx = v0.cos α vy = v0.sen α + g.t | ángulo formado con el e α = arctg (vy/vx) | ||||
| altura máxima alcanzada: y máxima = -v0 ².sen ² α/2.g | alcance: x = -v0 ².sen 2.α/g | ||||
Y ya empezamos a estudiar un caso concreto, cuando el movimiento es rectilíneo y la aceleración es constante, integrando llegamos a las ecuaciones del m.r.u.a ( movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
s = so + Vo*t + (1/2)*a*t^2
Ecuaciones sólo válidas cuando a = cte, o sea, en caso que la aceleración no sea constante no son válidas y hay que integrar de nuevo. Como caso particular de este caso particular, a=0=cte, y sacaremos las ecuaciones del m.r.u ( movimiento rectilíneo uniforme), como caso particular del m.r.u.a
s=so + Vo*t
¿ En qué consiste y por qué se llama tiro parabólico ?. Pues simplemente es el movimiento que describiría un cuerpo que se mueve sobre la superficie de la Tierra ( o cualquier planeta), y que está sometido a una única fuerza vertical hacia abajo debido a su propio peso ). En tal caso, si tomamos un eje X horizontal y un eje Y vertical, comprobamos que en eje X tenemos un m.r.u ( no hay fuerza, a=0), y en el eje Y un m.r.u.a ( si consideramos el peso constante, claro, hay una a=g=cte hacia abajo). Así pues las ecuaciones del tiro serán
x=xo+Vx*t=xo+Vox*t
y=yo+V oy*t+(1/2)*a*t^2
yo...... distancia vertical del origen al punto de lanzamiento
Vox... Velocidad inicial en el eje X
Voy... Velocidad inicial en el eje Y
a la aceleración
Tenemos dos ecuaciones x(t), y(t) que nos proporcionan la posición del cuerpo en función del tiempo. Eliminando ese parámetro, sacaremos una ecuación y=y(x),
x=xo+Vox*t ____ t=(x-xo)/Vox
y=yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2 __y=yo+Voy*(x-xo)/Vox+(1/2)*a*(x-xo)^2/Vox^2
que desarrollada un poco nos quedará algo como
y=A*x^2+B*x+C
o sea una parábola, y por eso se llama tiro parabólico (nombre poco original, por cierto)
Bien veamos que dicen los libros, diferenciand o ya, erroneamente entre tiro parabólico y tiro horizontal, que es tan tiro parabólico como el otro.
En este caso conviene coger el origen en el punto de lanzamiento ( para que xo=yo=0), y proyectando Vo sobre los ejes, obtenemos
Vox=Vo*cosA
a= -g ( va en contra del eje)
x=Vo*cosA*t
Vy=Vo*senA-g*t
y=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2
¿Qúe nos suele interesar?. La altura a la que llega y el alcance máximo
Para calcular la altura, sabemos que arriba Vy=0, luego
y en ese instante la altura será
y=Vo*senA*Vo*sen A/g-(1/2)*g*(Vo*senA/g)^2
ymax=Vo^2*sen^2A/2g
Para el alcance máximo sabemos que la altura es y=0
t*(Vo*senA-(1/2)*g*t)=0
Vo*senA-(1/2)*g*t=0 --->t=2*Vo*senA/g (el doble del anterior)
con lo que en ese momento el alcance será:
y como sen(2A)=2*senA*cosA
xmax=Vo ^2*sen(2A)/g
Lanzamos un cuerpo desde una altura h con una velocidad horizontal Vo
Es el mismo caso que antes
x=xo+Vx*t=xo+Vox*t
Vy=Voy+a*t
y= yo+Voy*t+(1/2)*a*t^2
y volviendo a coger el origen en el suelo y ejes de la misma forma
Vox=Vo
Voy=0 (toda la velocidad inicial está en el eje X)
Vx=Vo
x=Vot
Vy=-gt
y=h-(1/2)*g*t^2
Para hallarla, sólo has de sacar el tiempo en que y=0 y sustituirlo en la ecuación de x
Por ejemplo, supon que tenemos un tiro parecido, pero existe un viento horizontal en contra que provoca al cuerpo una aceleración hacia atrás de valor a
x=xo+Vox*t+(1/2)*ax*t^2
Vy=Voy+ay*t
y=yo+Voy*t+(1/2)*ay*t^2
xo=yo=0
Vox=Vo*cosA
Voy=Vo*senA
ay=-g
xo=Vo*cosA*t-(1/2)*a*t^2
Voy=Vo*senA-g*t
y=Vo*senA*t-(1/2)*g*t^2
Como ves, el concepto es siempre el mismo, y ahora las fórmulas de altura máxima y alcance máximo no nos valen,(además ahora no es un tiro para bólico), si bien el procedimiento para sacarlas es igual
Alcance máximo y=0
=45 Respuesta = 45
4-Ejemplo.
Determinar la rapides V0 para que el proyectil llegue al punto B, siendo el radio de la superficie cilindrica 75m. (g=10m/s)
resolucion del problema de movimiento parabolico nº2
Trazamos un altura (linea de azul) en el lugar donde choca el objeto obteniendo un triangulo notable de 53º y 37ºObteniendo asi la altura del objeto que choca
ala barrera H=15*d=Vx. t45=3vt => 15=vt__________(1) usando la formula de movimiento parabolicoH=Vy.t-1/2. g.tª (a=2)15=4V.t - 5(t)ª15=60-5tªt=3 remplazando en (1)15=vt5=v*Hallando VoV0=5VVo=5(5)Vo
=25 Respuesta Vo = 25
Las ecuacion es de la trayectoria son
x=v0·cosθ·t
y=v0·senθ·t-gt2/2
Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)
Tarea:
1-Ejercicio.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.
b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?.
c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.
Respuesta: a) 39,36 m
b) 1732,05 m
c) 3464,1 m
2-Ejercicio.
Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:
a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.
b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posi
ción se podría haber disparado?.
Respuesta: a) 49,46 m/s
b) 17 m
Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicia
l de 13 m/s y con un ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:
a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?.
b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.
c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?.
Respuesta: a) 1,41 s
b) No
c) 17,18 m
4-Ejercicio
Respuesta: 165,99 m
5-Ejercicio
Un cañón que forma un ángulo de 45° con la horizontal, lanza un proyectil a 20 m/s, a 20 m de este se encuentra un muro de 21 m de altura. Determinar:
a) ¿A qué altura del muro hace impacto el proyectil?.
b) ¿Qué altura máxima logrará el proyectil?.
c) ¿Qué alcance tendrá?.
d) ¿Cuánto tiempo transcurrirá entre el disparo y el impacto en el muro?.
Respuesta: a) 9,75 m
b) 10,2 m
c) 40,82 m
d) 1,41 s
6-Ejercicio.
Un mortero dispara sus proyectiles con una velocidad inicial de 800 km/h, ¿qué inclinación debe tener el mortero para que alcance un objetivo ubicado a 4000 m de este?Respuesta: 26° 16´ 16"
Responder el siguiente cuestionario:
Pregunta n° 1) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "x"?.
Pregunta n° 2) En el tiro parabólico ¿qué tipo de movimiento se manifiesta en el eje "y"?.
Pregunta n° 3) ¿En qué posición es nula la velocidad en el eje "y"?.
Videos:
